Numeriske tilnærminger for Navier-Stokes-likningene

De kompressible Navier-Stokes-likningene brukes av ingeniører og forskere over hele verden til å simulere flyten av kompressible, viskøse og varmeledende væsker og gasser. Et eksempel er luft som strømmer forbi en flyvinge, som er et anvendelsesområde vi har vært interessert i i denne avhandlingen.

Navier-Stokes-likningene utgjør et sett av ikke-lineære partielle differensiallikninger, som relaterer ulike størrelser som trykk, temperatur og hastighet. Når man løser disse likningene så gjør man det på et område der kantene kalles for render. På disse kan man ha ulike vilkår, kalt randvilkår, som bestemmer hvordan løsningen skal oppføre seg på rendene, og som påvirker løsningen ellers i området. Hvis vi ser på eksempelet med luftflyt forbi en flyvinge, så vil et randvilkår være at hastigheten til luften som er helt inntil vingen, er lik null. Et annet randvilkår for dette eksempelet kalles fjernfeltvilkår, og det beskriver hvordan løsningen oppfører seg langt vekke fra flyvingen, hvor det er naturlig å anta at flyten er upåvirket av vingen.

Partielle differensiallikninger er ofte ikke mulige å løse med penn og papir, og vi tyr derfor til numeriske metoder for å finne tilnærminger til de eksakte løsningene. En numerisk metode må være stabil for å garantere at den tilnærmede løsningen ikke vokser ukontrollert. Å formulere stabile numeriske metoder som tar hensyn til randvilkår er ofte vanskelig.

I denne avhandlingen har vi utviklet stabile numeriske tilnærminger av randvilkår for vegg (som en flyvinge er et eksempel på) og fjernfelt. Vi har også analysert en spesifikk numerisk metode med gode stabilitetsegenskaper, og vist at den kan brukes til å tilnærme viskøse ledd i Navier-Stokes-likningene.

Personalia

Anita Gjesteland er doktorgradskandidat ved Matematisk Institutt på Universitetet i Bergen. Hun har tidligere tatt en master i anvendt og beregningsorientert matematikk ved samme universitet. Veilederne for doktorgradsprosjektet hennes har vært Magnus Svärd og Henrik Kalisch.