Matematisk modellering av bølger i fluider

Moderne matematisk hydrodynamikk kan spores tilbake til 1700-tallet, da Euler introduserte de nå berømte Euler likningene. Disse likningene beskriver hvordan bølger oppfører seg i en væske, men det er svært vanskelig å si noe om den generelle løsningen av dem. Fra et praktisk perspektiv er vi avhengig av å forstå dens løsninger. Derfor er det vanlig å heller betrakte forenklede modeller som gir en god beskrivelse av mer spesifikke bølger, fremfor å betrakte problemet i sin mest generelle form.

I dette arbeidet utleder vi flere modeller som beskriver lange bølger i grunt vann med variabel bunn. Gode modeller for grunt vann er avgjørende for utvikling av energienheter og varslingssystemer for stormvær. Her har vi utledet modeller med hjelp av streng matematisk analyse hvor vi har hatt fokus på hvordan bunnen påvirker bølgene.

Vi studerer også interne bølger, hvor en bølge propagerer mellom to væsker av ulik tetthet. Et eksempel er ferskvann fra en elv som renner inn i en innsjø. I dette tilfellet vil det ferske vannet danne et tynt lag over et lag med saltvann. I slike situasjoner kan Benjamin-Ono likningen bli brukt. Dette er en klassisk likning som ble formelt utledet på 60-tallet og har blitt studert av mange matematikere på grunn av sine unike matematiske egenskaper.

Et fundamentalt problem i matematisk modellering er å bevise at de nye løsningene man utleder gir en god beskrivelse av det opprinnelige problemet. Altså, at de gir en god beskrivelse av Euler likningene for de scenarioer vi ønsker å anvende dem. Hovedresultatene til avhandlingen er å bevise dette for ulike grunt vann likninger og Benjamin-Ono likningen.

Personalia

Martin Oen Paulsen er doktorgradskandidat ved Matematisk Institutt på Universitetet i Bergen. Han har tidligere tatt en master i anvendt og beregningsorientert matematikk ved samme universitet. Veilederen for doktorgradsprosjektet hans har vært Didier Pilod.