Analysere data ved å se på fasongen

Data ser ofte ut til å ha en slags underliggende geometrisk form, og det å forstå denne formen kan hjelpe oss til å bedre tolke hva dataen representerer. Et intuitivt eksempel de fleste kjenner fra barndommen er prikk-til-prikk tegninger (connect the dots) hvor en mengde nummererte punkter representerer en underliggende figur. Dette er en av de grunnleggende idéene bak topologisk dataanalyse (TDA), der vi utvikler måter å analysere data gjennom å studere formen på slike underliggende rom som fanger opp interessante egenskaper av dataen.

I avhandlingen viser vi flere måter å konstruere innsiktsfulle rom gitt forskjellige typer data. Vi ser på data som representeres av punktskyer, matriser, rettede grafer, med mer. Disse rommene gir oss ny forståelse av ulike problemer. For eksempel leder det til et nytt bevis og generalisering av det såkalte Dowkers teorem. Vi ser både på globale spørsmål, som å beskrive hele den underliggende formen med kun å se på en punktsky, men også lokale problemer som å finne spesifikke hull i avgrensede områder.

For å kunne gjøre beregninger må vi beskrive rommene på en måte som en datamaskin vil kunne forstå og jobbe med. Vi jobber med simplisielle konstruksjoner, som er figurer bygd opp av streker, trekanter, trekant-pyramider (tetraeder) og tilsvarende høyere-dimensjonale byggeklosser, og vi koder hvordan disse henger sammen. Det er viktig at metodene vi utvikler kan gjennomføres på en rimelig tid også for store mengder data. Vi viser dette både med teoretisk analyse og med å teste direkte.

Sentralt i TDA er ideen om matematiske stabilitetsgarantier, hvis vi endrer dataen veldig lite vil vi bevise at analysen av dataen også kun endrer seg litt. Dette er spesielt viktig når vi har støy i dataen vi jobber med, da vi vil at analysen skal være robust. Vi utvikler flere slike stabilitetsresultater i avhandlingen.

Personalia

Lars M. Salbu tar doktorgraden ved Matematisk Institutt på UiB, under hovedveileder Morten Brun og medveileder Nello Blaser. Fra tidligere har han en mastergrad i matematikk (topologi) fra UiB, og en bachelor i fysikk fra NTNU.