5. Kommutative versus ikke-kommutative systemer

For de hele tallene gjeler det at a × b er lik b × a : faktorenes orden er likegyldige. Vi sier at multiplikasjonen er kommutativ. Men når det gjelder matriser er faktorenes orden ikke likegyldig. For matrisene over finner man ut ved litt regning at A × B ikke er lik B × A. Således er multiplikasjonen ikke kommutativ.

Og her er vi ved et grunnleggende skille. Teorien for kommutative algebraiske systemer er ganske forskjellig fra teorien for ikke-kommutative systemer. Kommutative algebraiske systemer, som polynomene utgjør, er nært forbundet med geometriske objekter. Denne sammenhengen studeres i algebraisk geometri. Algebraiske egenskaper og geometriske egenskaper speiler seg i hverandre og er egentlig to forskjellige sider av en og samme sak.

Ikke-kommutative systemer er også knyttet til geometri. Men mens kommutative algebraiske systemer i algebraisk geometri er knyttet til geometrien på en intrinsik måte, er den i ikke-kommutative geometri knyttet til geometrien på en mer ekstrinsik måte, som operasjoner på geometriske objekter, ofte som operasjoner som gir symmetrier av det geometriske objektet. Således er mye av algebraen i moderne teoretisk fysikk ikke-kommutativ.

I Bergen og Oslo har man tradisjonelt studert kommutativ algebra knyttet til algebraisk geometri. I de senere årene har vi også studert samspillet mellom kommutativ algebra og kombinatorikk. I Trondheim har man  fokusert på ikke-kommutativ algebra. Man har der en stor gruppe som studerer artinske algebraer.

Les videre om Lie-algebraer.