1. Utvikling av ligningsteorien
Hovedinnhold
I barneskolen lærte vi å løse de enkleste ligninger, førstegradsligninger som
2x - 3 = 5.
Siden ble dette bygd ut til ligningssystemer: to førstegradsligninger med to ukjente
2x + 3y = 8,
3x - 5y = 1.
I videregående skole lærte vi å løse andregradsligninger og vi lærte om polynomer, uttrykk som
x3 + 2x2 - 5x + 7,
og om polynomidivisjon. Og så langt var man kommet da middelalderen gikk mot slutten i Europa. Men så rundt 1530 kom to gjennombrudd i renessansens Italia. Man klart ført å løse tredjegradsligningen,
x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = 0,
og like etter fjerdegradsligningnen. Som følge av dette og oppblomstringen av matematikken generelt kom der tre nyvinninger som kan sies å tilhøre algebra. For det første, begynte man mer og mer å ta i bruk matematiske symboler. På denne tiden ble blant annet symbolene +, - , = og rottegnet innført. Fra begynnelsen av 1600-tallet stammer også konvensjonene med at x, y, og z betegner ukjente, mens a, b, og c ble brukt for å betegne kjente størrelser. For det andre kom man ved bruk av formlene for røttene i tredjegradsligningen ikke utenom å ta kvadratroten av et negativt tall selv om svaret ble et naturlig tall. Derfor tok man for første gang i bruk et algebraisk system, de komplekse tall, som ikke direkte har noen fysisk fortolkning. For det tredje så inspirerte løsningen av tredjegradsligningen til videre dåd: kunne man løse femtegradsligningen, har alle polynomligninger løsninger?
I de neste århundredene skjedde en rivende matematisk utvikling. Men til tross for iherdige forsøk fikk man ikke hull på femtegradsligningen. Så i 1824 viste Niels Henrik Abel at den generelle femtegradsligningen ikke kan løses ved de algebraiske operasjonene addisjon, subtraksjon, ganging, deling og rotutdragning (men mange spesielle femtegradsligninger, som f.eks. x5 - 3 = 0 kan likevel løses). Målet hans ble nå å forstå når vilkårlige polynomligninger kan løses. Abels tidlige død i 1829 kom ham i forkjøpet, men en ung franskmann Evariste Galois bygde videre på Abels innsikter og hadde i 1831 bildet klart. Sentralt i forståelsen av når vi har algebraiske løsninger, var ligningens symmetrier. Og symmetriene til et objekt, det være seg en ligning, en fotball, eller Rubiks kube, er en algebraisk struktur som kalles for en gruppe.
Les videre om grupper.