2. Grupper

Hvis g og h er to rotasjoner som bevarer en symmetri, så vil sammensetningen, først h så g, også være en rotasjon, vi skriver g * h, som bevarer symmetrien. (For ligninger er ikke symmetriene akkurat rotasjoner, men for enkelthets skyld bruker jeg dette geometriske bildet.) Denne sammensetningen oppfyller noen regler.

•  (g * h) * f = g * (h * f). Venstresiden angir her først rotasjonen f, etterfulgt av sammensetningen av rotasjonene h og g. Høyresiden angir først rotasjonen som er sammensetningen av f og så h, etterfulgt av rotasjonen g. Men resultatet av disse to måtene blir jo det samme.
• Vi har identitetsrotasjonen 1 som lar alt være i ro. Den oppfyller 1 * g = g * 1 = g.
• Hver rotasjon har en invers rotasjon g^-1 som fører oss tilbake der vi var. Den oppfyller g * g^-1 = g^-1 * g = 1.

Slike grupper av symmetrier kan være endelige, som symmetriene til en fotball eller Rubiks kube, eller uendelige som symmetriene til en sfære. Men nå kan man jo abstrahere situasjonen og spørre seg hvilke (endelige) grupper av symmetrier finnes der i det hele tatt? Og så åpner det seg en helt ny verden å studere. Klassifikasjonen av de grunnleggende byggeklossene for endelige grupper, som kalles simple grupper, ble fullført på 1970-tallet. En av dem som stod for de største gjennombruddene m.h.p. dette var J.G. Thompson som ble belønnet med Abelprisen i 2008.

Les videre om kropper.