Algebraiske strukturer på reduktive homogene rom

Kandidaten gir en beskrivelse av algebraiske strukturer kalt koblingsalgebraer som oppstår naturlig på en klasse matematiske rom kalt reduktive homogene rom. Hovedresultatet er en komplett klassifisering av disse algebraene inkludert en beskrivelse av den tilhørende frie algebraen. Dette kan brukes til å utvikle numeriske metoder for å løse differensiallikninger.

Differensiallikninger oppstår naturlig i mange sammenhenger dersom man forsøker å beskrive alt fra himmellegemers bevegelse til økonomisk vekst. Disse likningene kan være svært vanskelig å finne eksakte løsninger til, og man er derfor avhengig av gode numeriske metoder for å finne tilnærmede løsninger. Runge-Kutta metoder er en klasse med slike metoder, men disse metodene er tilpasset flate matematiske rom. I CODYSMA-prosjektet har en gruppe forskere lagt grunnlaget for å tilpasse disse metodene for matematiske rom som ikke trenger å være flate, for eksempel en sfære.

Disse rommene er utstyrt med et matematisk objekt kalt en kobling som lar oss ta den retningsderiverte av vektorfelt. Vi tenker på denne koblingen som et produkt som lar oss multiplisere vektrofelt med hverandre. Basert på geometrien til det matematiske rommet vi jobber på vil vi få en rekke regneregler. Viktige eksempler på slike regneregler som vi kjenner godt er kommutativitet: "ab = ba", og assosiativitet: "a(bc)=(ab)c". I de tilfellene vi undersøker er disse reglene ikke nødvendigvis gjeldende. Regnereglene vi får definerer en type algebra, og vi er interessert i å vite nøyaktig hvilke konsekvenser et sett med regneregler medfører. Dette undersøker vi ved å se på det som kalles den frie algebraen. Dette er en algebra hvor vi passer på at ingen andre regler gjelder enn de vi er interessert i, det vil si at vi jobber et sted hvor for blant annet "ab" ikke er lik "ba". Den frie algebraen kan ses på som en form for variabel kontroll; vi fremstiller en destillert versjon av strukturen vi er interessert i.

Personalia

Jonatan Stava har mastergrad i ren matematikk (2019) fra Universitetet i Bergen. Doktorgradsarbeidet er utført som en del av CODYSMA-prosjektet under veiledning av Prof. Hans Munthe-Kaas (hovedveileder) og Førsteamanuensis Erlend Grong (medveileder).