Symmetrier på sfærer og gruppekohomologi

Forkunnskaper : MAT220 er helt nødvendig. Du må også enten ha tatt MAT242 eller følge MAT243 parallelt med prosjektet.

Beskrivelse : Symmetrier er et gjennomgripende tema i matematikken. Et (banalt) eksempel: en regulær trekant har en symmetri gitt ved at gruppen av orden tre virker ved rotasjon med en vinkel på 2π/3.

Et annet eksempel: i kvantekomputing beskrives en “ren” tilstand som et punkt på 3-sfæren, men to rene tilstander er i praksis like om de er forskjellige ved en “faseforskyvning”. Dette gir en hel rotasjons-symmetri, så tilstandsrommet blir kun en 2-sfære!

Et tredje eksempel: tilsynelatende symmetrier i bakgrunnsstrålingen i universet har gitt opphav til hypotesen at verdensrommet har fasong som “Poincaré-sfæren”: det du får om du du identifiserer punkter på en 3-sfære i henhold til en bestemt symmetri av en gruppe av orden 120 (den såkalte binære ikosaedergruppen).

I dette prosjektet tar vi utgangspunktet i følgende spørsmål: hvilke endelige symmetrier finnes det på sfærer? Dette spørsmålet ble besvart av Madsen, Thomas og Wall. Beviset inneholder mange tema som er utenfor rekkevidde for en prosjektoppgave, så vi skal konsentrere oss om resultatet, og om samspillet mellom gruppeteori og geometri.

Det er et mål at studenten skal regne ut gruppehomologien for noen enkle grupper som virker på sfærer.

Hva lærer du:

1. kohomologi av grupper og metoder for beregning av disse,
2. gruppeteori (Sylow undergrupper etc. se Fraleigh’s bok som brukes i MAT200),
3. overdekninger (behandles i MAT242),
4. glatte strukturer (behandles i MAT243) og symmetrier.

Referanser:

[1] Brown, Kenneth S. Cohomology of groups. Corrected reprint of the 1982 original. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York, 1994. x+306 pp. ISBN: 0-387-90688-6.
[2] Milnor, John, Groups which act on Sⁿ without fixed points. Amer. J. Math. 79 (1957), 623–630.