Hochschildhomologi

Forkunnskaper : MAT220 er helt nødvendig. Deler av MAT224 som kan tilegnes ved å følge kurset parallelt med prosjektet.

Beskrivelse : Homologi er et viktig verktøy i algebraisk topologi som forteller om et roms kvalitative egenskaper. Løst sagt forteller homologi hvor mange “hull” der er i et rom. Hochschild homologi er en slags homologi for ringer som kan brukes til å lage homologiteori for noe som kalles ikke-kommutative rom. Kort fortalt er ethvert pent rom bestemt av den kommutative ringen av kontinuerlige reelle funksjoner på rommet. Hochschild homologi av denne ringen kan brukes til a beregne rommets homologi. En ikke-kommutativ ring som ligner på en ring av reelle funksjoner kalles noen ganger et ikke-kommutativt rom, og Fieldsmedaljevinneren Allan Connes har brukt Hochschildhomologi til å definere homologi for slike ikke-kommutative rom.

Dette prosjektet går ut på å først forstå Connes sykliske homologi, og dernest beregne Hochschildhomologi av enkle kommutative ringer. Prosjektet avsluttes med å variere på definisjonen av Hochschildhomologi og gjenta beregningene for disse variasjonene.

Hva lærer du:

1. simplisielle metoder,
2. homologisk algebra.

Referanser:

[1] J-L. Loday, Cyclic homology. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 301. Springer-Verlag, Berlin, 1998.